Question

2．体积为$\frac{\sqrt{2}}{6}$的三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，已知△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，则球的表面积为4π．

Answer 1

分析 根据题意作出图形，欲求球O的表面积，只须求球的半径r．利用截面圆的性质即可求出OO₁，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r的方程，即可求出r，从而解决问题

解答 解：根据题意作出图形：
设球心为O，球的半径r．
过ABC三点的小圆的圆心为O₁，则OO₁⊥平面ABC，
延长CO₁交球于点D，则SD⊥平面ABC．
∵CO₁=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OO₁=$\sqrt{{r}^{2}-\frac{1}{3}}$，
∴高SD=2OO₁=2$\sqrt{{r}^{2}-\frac{1}{3}}$，
∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴V_{三棱锥S-ABC}=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2$\sqrt{{r}^{2}-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，
∴r=1．
则球O的表面积为4π．
故答案为：4π．

点评 本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．