Question

已知函数f(x)=x³-x，
（1）设M(λ₀，f(λ₀))是函数图象上的一点，求点M处的切线方程；
（2）证明过点N（2，1）可以作曲线f(x)=x³-x的三条切线。

Answer 1

（1）解：，
过点的切线斜率为，
切线方程为，
即；
（2）证明：由（1）知曲线上点处的切线为，
若切线过点N（2，1），则，即，
若过N有三条切线等价于方程有三个不同的解，
设，，
随λ变化如下表：

g（λ）在R上只有一个极大值和一个极小值，，
∴g（λ）=0有3个不同解，即方程有3个不同解，
即过点N可以作曲线的三条切线。