题目内容
已知A，B是△ABC的两个内角，
=
cos
+sin
（其中
，
是互相垂直的单位向量），若|
|=
．（1）试问tanA•tanB是否为定值，若是定值，请求出，否则说明理由；
（2）求tanC的最大值，并判断此时三角形的形状．
【答案】分析：（1）利用向量模的公式得出关于角A，B的三角方程，利用二倍角公式、和差角公式化简三角方程，两边同除以cosAcosB得结论．
（2）据三角形的内角和为π，利用诱导公式求出tanC与tanA、tanB的关系，再利用基本不等式求出最大值．据三角形中，正切为负角为钝角，判断出三角形的形状．
解答：解：（1）：
=
，
1+cos（A+B）+
cosAcosB-sinAsinB-
=0
则tanAtanB=
（2）由（1）可知A、B为锐角
tanC=-tan（B+A）=-
=
=
所以tanC的最大值为
此时三角形ABC为钝角三角形．
点评：本题考查求 向量的模的坐标公式；三角函数的二倍角公式；三角函数的和差角公式；三角函数的同角公式；利用基本不等式求函数的最值．
（2）据三角形的内角和为π，利用诱导公式求出tanC与tanA、tanB的关系，再利用基本不等式求出最大值．据三角形中，正切为负角为钝角，判断出三角形的形状．
解答：解：（1）：
=，1+cos（A+B）+
cosAcosB-sinAsinB-
=0则tanAtanB=（2）由（1）可知A、B为锐角
tanC=-tan（B+A）=-
==所以tanC的最大值为
此时三角形ABC为钝角三角形．
点评：本题考查求 向量的模的坐标公式；三角函数的二倍角公式；三角函数的和差角公式；三角函数的同角公式；利用基本不等式求函数的最值．
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