Question

7．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bsin（A+B）-$\sqrt{3}$ccosB=0．
（1）求B；
（2）若b=$\sqrt{7}$，c=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由三角形内角和定理，正弦定理化简已知可得tanB=$\sqrt{3}$，结合范围0＜B＜π，即可解得B的值．
（2）由已知及余弦定理可得a²-2a-3=0，解得a，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵bsin（A+B）-$\sqrt{3}$ccosB=0．
∴bsin（π-C）-$\sqrt{3}$ccosB=0．可得：bsinC-$\sqrt{3}$ccosB=0．
∴由正弦定理可得：sinBsinC=$\sqrt{3}$sinCcosB，
∵sinC≠0，可得：tanB=$\sqrt{3}$，
∵0＜B＜π，解得：B=$\frac{π}{3}$…6分
（2）∵由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，b=$\sqrt{7}$，c=2，B=$\frac{π}{3}$，
∴7=a²+4-2a，即a²-2a-3=0，
∵a＞0，解得：a=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理的应用，属于基本知识的考查．