题目内容
已知不等式x2-x-m+1＞0．（1）当m=3时解此不等式；
（2）若对于任意的实数x，此不等式恒成立，求实数m的取值范围．
分析：（1）当m=3时，不等式x2-x-2＞0，解可得答案；
（2）不等式x2-x-m+1＞0对任意实数x恒成立，设y=x2-x-m+1，再利用大于0恒成立须满足的条件：开口向上，判别式小于0来解m的取值范围．
（2）不等式x2-x-m+1＞0对任意实数x恒成立，设y=x2-x-m+1，再利用大于0恒成立须满足的条件：开口向上，判别式小于0来解m的取值范围．
解答：解：（1）当m=3时，
不等式x2-x-2＞0
解得：x∈（-∞，-1）∪（2，+∞）
（2）设y=x2-x-m+1
∵不等式x2-x-m+1＞0对于任意的x都成立
∴对?x∈R，y＞0恒成立
∴△=12+4（m-1）＜0
∴m∈(-∞，
)
故实数m的取值范围m∈(-∞，
)．
不等式x2-x-2＞0
解得：x∈（-∞，-1）∪（2，+∞）
（2）设y=x2-x-m+1
∵不等式x2-x-m+1＞0对于任意的x都成立
∴对?x∈R，y＞0恒成立
∴△=12+4（m-1）＜0
∴m∈(-∞，
| 3 |
| 4 |
故实数m的取值范围m∈(-∞，
| 3 |
| 4 |
点评：本题考查了一次函数和二次函数的恒成立问题．本题的关键在于“转化”，先将不等式恒成立转化为函数恒成立问题，再利用二次函数与x轴无交点解决问题．
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