题目内容
椭圆C:

(1)求椭圆C的方程;
(2)若P(m,n)(m>0,n>0)为椭圆C上一动点,直线L:mx+4ny-4=0与圆C′:x2+y2=4相交于A、B两点,求三角形OAB面积的最大值及此时直线L的方程.
【答案】分析:(1)依题意可求得a=2,再利用其离心率e=
=
=
可求得b,从而可求得椭圆C的方程;
(2)设圆心O到直线L的距离为d,可求得d=
,结合n∈(0,1],可求得d的范围;利用基本不等式可求得S△OAB最大值为2,继而可得n,m的值,从而可求得直线L的方程.
解答:解:(1)由椭圆定义知2a=4,
∴a=2,又e=
=
=
得b=1,
∴所求椭圆方程为
+y2=1.
(2)设圆心O到直线L的距离为d,则d=
,又有
+n2=1,
所以d=
=
,又n∈(0,1],
∴d∈[1,2),
S△OAB=
|AB|•d=
•d=
≤
=2(当d2=4-d2即d=
时S△OAB最大),
∴S△OAB最大值为2,
d=
⇒
=
,n>0,
∴n=
,
m2=4-4n2=
,又m>0,
∴m=
.
所以直线L的方程为
x+
y-12=0,即x+
y-3
=0.
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与圆的位置关系,突出考查基本不等式的应用,考查分析、运算的能力,属于难题.



(2)设圆心O到直线L的距离为d,可求得d=

解答:解:(1)由椭圆定义知2a=4,
∴a=2,又e=



∴所求椭圆方程为

(2)设圆心O到直线L的距离为d,则d=


所以d=


∴d∈[1,2),
S△OAB=





∴S△OAB最大值为2,
d=



∴n=

m2=4-4n2=

∴m=

所以直线L的方程为




点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与圆的位置关系,突出考查基本不等式的应用,考查分析、运算的能力,属于难题.

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