题目内容

 设函数f (x)的定义域为R．若存在正常数M，使|f (x)|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f (x)为有界泛函数．在函数：①f (x) = –3x，②f (x) = x2，③f (x) = sin2x，④f (x) = 2x， ⑤f (x) = x cos x中，属于有界泛函数且满足f(x1 +x2) = f (x1)+f(x2)对x1，x2∈R都成立的函数有                ．（填上所有正确的序号）       

 

【答案】

 ①、⑤

 

练习册系列答案
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设函数f(x)=
3x
3x+
3
上两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），若
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)，且P点的横坐标为
1
2

（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值；
（2）若Sn=
n
i=1
f(
i
n
)，n∈N*，求Sn；
（3）记Tn为数列{
1
(Sn+
3
2
)(Sn+1+
3
2
)
}的前n项和，若Tn＜a•(Sn+2+
3
2
)对一切n∈N*都成立，试求实数a的取值范围．
设函数f(x)=ax+
b
x
，曲线y=f（x）在点M(
3
，f(
3
))处的切线方程为2x-3y+2
3
=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；       
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间
（Ⅲ）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
下列说法中：
①函数f(x)=
1
lgx
在(0，+∞)是减函数；
②在平面上，到定点（2，-1）的距离与到定直线3x-4y-10=0距离相等的点的轨迹是抛物线；
③设函数f(x)=cos(
3
x+
π
6
)，则f（x）+f'（x）是奇函数；
④双曲线
x2
25
-
y2
16
=1的一个焦点到渐近线的距离是5；
其中正确命题的序号是
③
③
．
设函数f(x)=
1
4x+2
，
（1）求证：对一切x∈R，f（x）+f（1-x）为定值；
（2）记an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)
 (n∈N*)，
求数列{an}的通项公式及前n项和．
设函数f(x)=的图象上两点P1（x1,y1）、p2（x2,y2）,若=（+），且点P的横坐标为.

（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；

（2）若Sn=，n∈N*，求Sn：

（3）记Tn为数列{}的前n项和，若Tn＜a（Sn+1+2）对一切n∈N*都成立.试求a的取值范围.

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