Question

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=2，点P坐标为（2，-1），过点P作圆C的切线，切点为A，B．
（1）求直线PA，PB的方程；  
（2）求过P点的圆的切线长；  
（3）求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（1）设切线方程斜率为k，由切线过点P，表示出切线方程，根据圆标准方程找出圆心C坐标与半径r，根据直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出切线方程．
（2）通过p到圆心C的距离、圆的半径以及切线长满足勾股定理，求出切线长即可．
（3）利用（2）写出圆心为P的圆的方程，通过圆系方程写出公共弦方程即可．

解答：解：（1）设切线的斜率为k，
∵切线过点P（2，-1），
∴切线方程为：y+1=k（x-2）即：kx-y-2k-1=0，
又圆C：（x-1）²+（y-2）²=2的圆心坐标为（1，2），半径为

2

，
由点到直线的距离公式，得：

2

=

|k-2-2k-1|

k2+(-1)2

，
解得：k=7或k=-1，
则所求的切线方程为：x+y-1=0和7x-y-15=0．
（2）圆心C到P的距离为：

(2-1)2+(-1-2)2

=

10

．
∴切线长为：

( 10 )2-( 2 )2

=2

2

．
（3）以P为圆心，切线长为半径的圆的方程为：（x-2）²+（y+1）²=8…①
由圆C：（x-1）²+（y-2）²=2，…②
②-①可得AB的方程：（x-1）²+（y-2）²-（x-2）²-（y+1）²=-6，
可得2x-6y+9=0．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，以及圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．