Question

1．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=$\frac{lnx}{x^n}$，g（x）=$\frac{e^x}{x^n}$，其中n∈N^*
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在直线l：y=c（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧，求n的最大值．（参考数据：ln4≈1.386，ln5≈1.609）

Answer 1

分析 （Ⅰ）先判断函数f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数．再求导，由导数的正负判断函数的单调性；
（Ⅱ）尝试n的值，使y=f（x）的最大值小于y=g（x）的最小值即可，即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数．证明如下，
$f'（x）=\frac{1-nlnx}{{{x^{n+1}}}}$，
令 f′（x）=0，解得$x={e^{\frac{1}{n}}}$．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表所示：

x	$（0，{e^{\frac{1}{n}}}）$	${e^{\frac{1}{n}}}$	$（{e^{\frac{1}{n}}}，+∞）$
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗		↘

所以函数f（x）在区间$（0，{e^{\frac{1}{n}}}）$上为单调递增，区间$（{e^{\frac{1}{n}}}，+∞）$上为单调递减．
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上的最大值为f（${e^{\frac{1}{n}}}$）=$\frac{ln{e}^{\frac{1}{n}}}{e}$=$\frac{1}{ne}$．
g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-n）}{{x}^{n+1}}$，令g′（x）=0，解得x=n．
当x变化时，g′（x）与g（x）的变化如下表所示：

x	（0，n）	n	（n，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	↘	$\frac{{e}^{n}}{{n}^{n}}$	↗

所以g（x）在（0，n）上单调递减，在（n，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）的最小值为g（n）=$\frac{{e}^{n}}{{n}^{n}}$，
∵存在直线l：y=c（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧，
∴$\frac{{e}^{n}}{{n}^{n}}$≥$\frac{1}{en}$，
即eⁿ⁺¹≥n^n-1，即n+1≥（n-1）lnn，
当n=1时，成立，
当n≥2时，$\frac{n+1}{n-1}$≥lnn，即$\frac{2}{n-1}+1-lnn$≥0，
设h（n）=$\frac{2}{n-1}+1-lnn$，n≥2，
则h（n）是减函数，∴继续验证，
当n=2时，3-ln2＞0，
当n=3时，2-ln3＞0，
当n=4时，$\frac{5}{3}-ln4＞$$\frac{5}{3}-1.4＞0$，
当n=5时，$\frac{3}{2}$-ln5＜$\frac{3}{2}$-1.6＜0，
则n的最大值是4．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了函数的最值的求法，属于难题．