Question

已知直线l：3x-y+3=0，求：
（1）点P（4，5）关于l的对称点；
（2）直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y）关于直线l：3x-y+3=0的对称点为P′（x′，y′），利用垂直、平分列出方程组，把点P（4，5）代入方程组，求出关于l的对称点；
（2）利用（1）的结论，方程组中的x′，y′分别代换x-y-2=0中的x，y，可求直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程．

解答：解：（1）设P（x，y）关于直线l：3x-y+3=0的对称点为P′（x′，y′）．
∵k_PP′•k₁=-1，即

y′-y

x′-x

×3=-1．①
又PP′的中点在直线3x-y+3=0上，
∴3×-+3=0．②
由①②得

x′= -4x+3y-9 5 ③ y′= 3x+4y+3 5 ④

把x=4，y=5代入③及④得x′=-2，y′=7，
∴P（4，5）关于直线l的对称点P′的坐标为（-2，7）．
（2）用③④分别代换x-y-2=0中的x，y，得关于l的对称直线方程为

-4x+3y-9

5

-

3x+4y+3

5

-2=0，化简得7x+y+22=0．

点评：本题是中档题，考查与直线关于点、直线对称的直线方程的求法，注意垂直、平分的利用，以及代换方法，本题是解答对称问题的通法，值得反思总结．