Question

一个四棱锥的直观图和三视图如图所示：
（1）求证：DA⊥PD；
（2）若M为PB的中点，证明：直线CM∥平面PDA；
（3）若PB=1，求三棱锥A-PDC的体积．

Answer 1

分析：（1）根据三视图，得PB⊥面ABCD，可得PB⊥DA．梯形ABCD中，根据题中数据证出BD²+AD²=AB²，从而DA⊥BD，再利用线面垂直判定定理即可证出DA⊥平面PBD，可得DA⊥PD；
（2）取PA中点N，连结MN、DN，利用三角形中位线定理，结合梯形ABCD证出四边形MNDC是平行四边形，得CM∥DN，根据线面平行判定定理，即可得到CM∥平面PDA；                   
（3）根据（1）的结论，PB是三棱锥P-CDA的高，结合题中数据算出三棱锥P-CDA的体积为

1

6

，即可得到三棱锥A-PDC的体积．

解答：解：由三视图可知：PB⊥面ABCD，底面ABCD为直角梯形，PB=BC=CD=1且AB=2
（1）∵PB⊥面ABCD，DA?面ABCD，∴PB⊥DA
在梯形ABCD中，PB=BC=CD=1，AB=2
∴BD=

2

，AD=

2

，可得BD²+AD²=4=AB²，
∴DA⊥BD，
又∵PB、BD是平面PBD内的相交直线，
∴DA⊥平面PBD，结合PD?平面PBD，可得DA⊥PD；                …（5分）
（2）取PA中点N，连结MN、DN，
∵MN是△PAB的中位线，∴MN

∥

.

1

2

AB，
又∵梯形ABCD中，CD

∥

.

1

2

AB，
∴MN

∥

.

CD，可得四边形MNDC是平行四边形，得CM∥DN，
∵CM?平面PDA，DN?平面PDA，∴CM∥平面PDA                   …（9分）
（3）∵PB⊥面ABCD，得PB是三棱锥P-CDA的高，
∴三棱锥P-CDA的体积V_P-CDA=

1

3

S_△CDA×PB=

1

3

×

1

2

×1×1=

1

6

∴三棱锥A-PDC的体积V=V_P-CDA=

1

6

                   …（12分）

点评：本题在特殊的四棱锥中证明线线垂直、线面平行，并求三棱锥的体积，着重考查了空间直线与直线、直线与平面的位置关系证明和锥体体积的求法等知识，属于中档题．