题目内容
对于数列{xn}，如果存在一个正整数m，使得对任意的n（n∈N*）都有xm+n=xn成立，那么就把这样一类数列{xn}称作周期为m的周期数列，m的最小正值称作数列{xn}的最小正周期，以下简称周期．例如当xn=2时，{xn}是周期为1的周期数列；当yn=sin(
)时，{yn}是周期为4的周期数列．设数列{an}满足an+2=λ•an+1-an(n∈N*)，a1=1，a2=20．
（1）若数列{an}是周期为3的周期数列，则常数λ的值是
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，若λ=1，则S2012=
| nπ | 2 |
（1）若数列{an}是周期为3的周期数列，则常数λ的值是
-1
-1
；（2）设数列{an}的前n项和为Sn，若λ=1，则S2012=
21
21
．分析：（1）直接利用数列{an}是周期为3的周期数列以及an+2=λ•an+1-an可以推得（λ+1）（an+2-an+1）=0即可求常数λ的值；
（2）由题意可得，当λ=1时，an+2=an+1-an，结合a1=1，a2=20可求出前几项，从而可发现数列的周期性规律，进而可求和
（2）由题意可得，当λ=1时，an+2=an+1-an，结合a1=1，a2=20可求出前几项，从而可发现数列的周期性规律，进而可求和
解答：解：由（1）数列{an}是周期为3的数列，
得an+3=an，
∵
两式相减可得，an+3-an+2=λan+2-（λ+1）an+1+an
把an+3=an代入上式可得（λ+1）（an+2-an+1）=0，即λ=-1．
（2）由题意可得，当λ=1时，an+2=an+1-an
∵a1=1，a2=20
∴a3=19，a4=-1，a5=-20，a6=-19，a7=1=a1，a8=a2=20
∴数列{an}是以6为周期的周期数列且a1+a2+…+a6=0
则S2012=a1+a2+…+a2012
=335（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+a1+a2
=21
故答案为：-1，3
得an+3=an，
∵
|
两式相减可得，an+3-an+2=λan+2-（λ+1）an+1+an
把an+3=an代入上式可得（λ+1）（an+2-an+1）=0，即λ=-1．
（2）由题意可得，当λ=1时，an+2=an+1-an
∵a1=1，a2=20
∴a3=19，a4=-1，a5=-20，a6=-19，a7=1=a1，a8=a2=20
∴数列{an}是以6为周期的周期数列且a1+a2+…+a6=0
则S2012=a1+a2+…+a2012
=335（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+a1+a2
=21
故答案为：-1，3
点评：本题是在新定义下对数列知识的综合考查，解答的关键是数列周期规律的发现，属于数列中的难题．
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