题目内容
如图,设P0是抛物线y=x2上一点,且在第一象限.过点P0作抛物线的切线,交x轴于Q1点,过Q1点作x轴的垂线,交抛物线于P1点,此时就称P0确定了P1.依此类推,可由P1确定P2,….记Pn(xn,yn),n=0,1,2,….给出下列三个结论:
①xn>0;
②数列{xn}为单调递减数列;
③对于?n∈N,?x0>1,使得y0+y1+y2+…+yn<2.
其中所有正确结论的序号为
①xn>0;
②数列{xn}为单调递减数列;
③对于?n∈N,?x0>1,使得y0+y1+y2+…+yn<2.
其中所有正确结论的序号为
①②③
①②③
.分析:求出过点Pn作抛物线的切线方程为y-xn2=2xn(x-xn),证明数列{xn}为公比为
的等比数列,即可得到结论.
1 |
2 |
解答:解:记Pn(xn,yn),则
∵抛物线y=x2,∴y′=2x,
∴过点Pn作抛物线的切线方程为y-xn2=2xn(x-xn),即y=2xnx-xn2
令y=0,则0=2xnxn+1-xn2,∴xn+1=
xn
∴数列{xn}为公比为
的等比数列
∵P0是抛物线y=x2上一点,且在第一象限,
∴xn>0;数列{xn}为单调递减数列;
y0+y1+y2+…+yn=x02+x12+…+xn2=
∴0<x0<
时,y0+y1+y2+…+yn<2.
∴?x0>1,使得y0+y1+y2+…+yn<2.
故正确结论的序号为①②③
故答案为:①②③.
∵抛物线y=x2,∴y′=2x,
∴过点Pn作抛物线的切线方程为y-xn2=2xn(x-xn),即y=2xnx-xn2
令y=0,则0=2xnxn+1-xn2,∴xn+1=
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∴数列{xn}为公比为
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∵P0是抛物线y=x2上一点,且在第一象限,
∴xn>0;数列{xn}为单调递减数列;
y0+y1+y2+…+yn=x02+x12+…+xn2=
x02•[1-(
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1-
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∴0<x0<
| ||
2 |
∴?x0>1,使得y0+y1+y2+…+yn<2.
故正确结论的序号为①②③
故答案为:①②③.
点评:本题考查数列与解析几何的综合,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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