题目内容

已知L为过点P且倾斜角为30°的直线，圆C为圆心是坐标原点且半径等于1的圆，Q表示顶点在原点而焦点是的抛物线，设A为L和C在第三象限的交点，B为C和Q在第四象限的交点．
（1）写出直线L、圆C和抛物线Q的方程，并作草图．
（2）写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式．
（3）设P′、B′依次为从P、B到x轴的垂足，求由圆弧AB和直线段BB′、B′P′、P′P、PA所包含的面积．
【答案】分析：（1）由题意代入点斜式求直线方程，代入标准式求圆的方程和抛物线的方程；
（2）分别联立直线、圆和抛物线的方程，求出交点的横坐标，再通过图形表示出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式，注意范围；
（3）先作出图形再把图形进行分割，再由（2）求的点A、B的坐标求每一部分的面积，最后再求和．
解答：解：（1）由题意知，直线L的方程为y+=（x+），即y=x；
圆C的方程为x2+y2=1，抛物线Q的方程为
草图为：
（2）由，解得A点横坐标．
∴线段PA的函数表达式为：
由，解得B点横坐标．
∴圆弧AB的函数表达式为：
∴抛物线上OB一段的函数表达式为：．
（3）如下图所求的面积为图中阴影部分，
由（2）和题意知，P'点的横坐标为-和点P，
∴
∵A点横坐标，B点横坐标，∴∠AOB==，
∴扇形OAB的面积为
∴所求面积（图中阴影部分）．

点评：本题涉及的内容多且层次分明，考查了求直线方程、圆的方程和抛物线的方程，还把几何图形和函数联系在一起，是一道新颖的直线与圆锥曲线综合强的题．
练习册系列答案
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已知L为过点P(-
3
3
2
，-
3
2
)且倾斜角为30°的直线，圆C为圆心是坐标原点且半径等于1的圆，Q表示顶点在原点而焦点是(
2
8
，0)的抛物线，设A为L和C在第三象限的交点，B为C和Q在第四象限的交点．
（1）写出直线L、圆C和抛物线Q的方程，并作草图．
（2）写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式．
（3）设P′、B′依次为从P、B到x轴的垂足，求由圆弧AB和直线段BB′、B′P′、P′P、PA所包含的面积．
圆C：（x-1）2+（y-2）2=25内有一点P（3，1），l为过点P且倾斜角为α的直线．
（1）若α=
3π4
，求直线l与圆C相交弦的弦长；
（2）求直线l被圆C截得的弦长度最短时，直线l的方程．
选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系和直角坐标系中极点与坐标原点重合，极轴与x轴半轴重合，点P的直角坐标为(3，
5
)，直线l过点P且倾斜角为
π
4
，曲线C的极坐标方程是ρ=2
5
sinθ，设直线l与曲线C交于A、B两点．
①写出直线l的参数方程；
②求|PA|+|PB|的值．
圆C：（x-1）2+（y-2）2=25内有一点P（3，1），l为过点P且倾斜角为α的直线．
（1）若，求直线l与圆C相交弦的弦长；
（2）求直线l被圆C截得的弦长度最短时，直线l的方程．

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