Question

已知L为过点P(-

3 3

2

，-

3

2

)且倾斜角为30°的直线，圆C为圆心是坐标原点且半径等于1的圆，Q表示顶点在原点而焦点是(

2

8

，0)的抛物线，设A为L和C在第三象限的交点，B为C和Q在第四象限的交点．
（1）写出直线L、圆C和抛物线Q的方程，并作草图．
（2）写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式．
（3）设P′、B′依次为从P、B到x轴的垂足，求由圆弧AB和直线段BB′、B′P′、P′P、PA所包含的面积．

Answer 1

分析：（1）由题意代入点斜式求直线方程，代入标准式求圆的方程和抛物线的方程；
（2）分别联立直线、圆和抛物线的方程，求出交点的横坐标，再通过图形表示出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式，注意范围；
（3）先作出图形再把图形进行分割，再由（2）求的点A、B的坐标求每一部分的面积，最后再求和．

解答：解：（1）由题意知，直线L的方程为y+

3

2

=

3

3

（x+

3 3

2

），即y=

3

3

x；
圆C的方程为x²+y²=1，抛物线Q的方程为Q：y2=

2

2

x
草图为：
（2）由

y= 3 3 x x2+y2=1

，解得A点横坐标x=-

3

2

．
∴线段PA的函数表达式为：f1(x)=

3

3

x，(-

3 3

2

≤x≤-

3

2

)
由

y2= 2 2 x x2+y2=1

，解得B点横坐标x=

2

2

．
∴圆弧AB的函数表达式为：f2(x)=-

1-x2

，(-

3

2

≤x≤

2

2

)
∴抛物线上OB一段的函数表达式为：f3(x)=-

2 2

x．(0≤x≤

2

2

)．
（3）如下图所求的面积为图中阴影部分，
由（2）和题意知，P'点的横坐标为-

3 3

2

和点P(-

3 3

2

，-

3

2

)，
∴△POP′的面积=

9

8

3

．
∵A点横坐标x=-

3

2

，B点横坐标x=

2

2

，∴∠AOB=

π

4

+

π

3

=

7π

12

，
∴扇形OAB的面积为

7

24

π．△BOB′的面积=

1

4

．
∴所求面积

9

8

3

+

7

24

π+

1

4

（图中阴影部分）．

点评：本题涉及的内容多且层次分明，考查了求直线方程、圆的方程和抛物线的方程，还把几何图形和函数联系在一起，是一道新颖的直线与圆锥曲线综合强的题．