Question

已知椭圆C过点A(1，

3

2

)，两个焦点坐标分别是F₁（-1，0），F₂（1，0）．
（1）求椭圆C的方程．
（2）过左焦点F₁作斜率为1的直线l与椭圆相交于M、N两点，求线段MN的长．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆定义，2a=

(1+1)2+( 3 2 )2

+

(1-1)2+( 3 2 )2

=4，所以a=2又c=1，所以b²=a²-c²=3因为焦点在x轴上，由此能求出椭圆方程．
（2）由已知得直线l的方程为：y=x+1，因为M、N是直线与椭圆的交点，故设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

y=x+1 x2 4 + y2 3 =1

，得7x²+8x-8=0，由此能求出线段MN的长．

解答：解：（1）根据椭圆定义，
2a=

(1+1)2+( 3 2 )2

+

(1-1)2+( 3 2 )2

=4，
所以a=2
又c=1所以b²=a²-c²=3因为焦点在x轴上，
所以椭圆方程为：

x2

4

+

y2

3

=1
（2）由已知得直线l的方程为：y=x+1，
因为M、N是直线与椭圆的交点，
故设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

y=x+1 x2 4 + y2 3 =1

，
得7x²+8x-8=0，
所以x1+x2=-

8

7

，x1x2=-

8

7

所以|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

64 49 + 32 7

=

12 2

7

，
所以|MN|=

1+12

|x1-x2|=

24

7

．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．