Question

5．在平面直角坐标系xOy中，已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，2）．设向量$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+（1-cosθ）$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{y}$=-k$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{sinθ}$$\overrightarrow{b}$，其中0＜θ＜π．
（1）若k=4，θ=$\frac{π}{6}$，求$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$的值；
（2）若$\overrightarrow{x}$∥$\overrightarrow{y}$，求实数k的最大值，并求取最大值时θ的值．

Answer 1

分析 （1）当k=4，$θ=\frac{π}{6}$时，用坐标表示向量$\overrightarrow{x}$、$\overrightarrow{y}$，代入计算即可；
（2）用坐标表示出向量$\overrightarrow{x}$、$\overrightarrow{y}$，由$\overrightarrow{x}∥\overrightarrow{y}$，可得$\frac{1}{k}=sinθ（cosθ-1）$，令f（θ）=sinθ（cosθ-1），问题转化为求f（θ）的最小值．

解答 解：（1）当k=4，$θ=\frac{π}{6}$时，$\overrightarrow{x}$=（1，2-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{y}$=（-4，4），
则$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}$=$1×（-4）+（2-\sqrt{3}）×4$=$4-4\sqrt{3}$．  
（2）依题意，$\overrightarrow{x}$=（1，2-2cosθ），$\overrightarrow{y}$=（-k，$\frac{2}{sinθ}$），
因为$\overrightarrow{x}∥\overrightarrow{y}$，所以$\frac{2}{sinθ}=-k（2-2cosθ）$，
整理得，$\frac{1}{k}=sinθ（cosθ-1）$，
令f（θ）=sinθ（cosθ-1），
则f′（θ）=cosθ（cosθ-1）+sinθ（-sinθ）
=2cos²θ-cosθ-1
=（2cosθ+1）（cosθ-1）．
令f′（θ）=0，得$cosθ=-\frac{1}{2}$或cosθ=1，
又0＜θ＜π，故$θ=\frac{2π}{3}$．
列表如下：

θ	$（0，\frac{2π}{3}）$	$\frac{2π}{3}$	$（\frac{2π}{3}，π）$
f′（θ）	-	0	+
f（θ）	↓	极小值$-\frac{3\sqrt{3}}{4}$	↑

当$θ=\frac{2π}{3}$时，$f（θ）_{min}=-\frac{3\sqrt{3}}{4}$，此时实数k取最大值$-\frac{4\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查向量的坐标运算，将问题转化为求三角函数的最小值是解题的关键，属中档题．