Question

设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5．
（1）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；
（2）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率．

Answer 1

分析：（1）三人各向目标射击一次，可以设A_k表示“第k人命中目标”．求至少有一人命中目标的概率，可以用1减去其反面没有一个人命中目标的概率即可．恰有两人命中目标的概率分为三种，即甲乙射中丙不中、甲丙射中乙不中、乙丙射中甲不中，即求P（A1•A2•

.

A3

+A1•

.

A2

•A3+

.

A1

•A2•A3）求解即可．
（2）甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率．根据n次独立重复试验发生k次的概率直接求解即可．

解答：解：（1）设A_k表示“第k人命中目标”，k=1，2，3．
这里A₁，A₂，A₃独立，且P（A₁）=0.7，P（A₂）=0.6，P（A₃）=0.5．
从而，至少有一人命中目标的概率为
1-P（

.

A1

，

.

A2

，

.

A3

）=1-P（

.

A1

）P（

.

A2

）P（

.

A3

）=1-0.3×0.4×0.5=0.94
恰有两人命中目标的概率为
P（A1•A2•

.

A3

+A1•

.

A2

•A3+

.

A1

•A2•A3）
=P（A₁）P（A₂）P（

.

A3

）+P（A₁）P（

.

A2

）P（A₃）+P（

.

A1

）P（A₂）P（A₃）
=0.7×0.6×0.5+0.7×0.4×0.5+0.3×0.6×0.5=0.44
则至少有一人命中目标的概率为0.94，恰好有两人命中目标的概率为0.44．
（2）设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次重复独立试验．由已知在每次试验中事件“命中目标发生的概率为0.7．
故所求概率为P₃（2）=C₃²（0.7）²（0.3）=0.441
故他恰好命中两次的概率为0.441．

点评：此题主要考查n次重复独立试验发生k次的概率问题，其中涉及到相互独立事件的概率乘法公式．这两个知识点在高考中都属于重点考点，希望同学们多加理解．