Question

已知等差数列{a_n}的首项为p，公差为d（d＞0）．对于不同的自然数n，直线x=a_n与x轴和指数函数的图象分别交于点A_n与B_n（如图所示），记B_n的坐标为（a_n，b_n），直角梯形A₁A₂B₂B₁、A₂A₃B₃B₂的面积分别为s₁和s₂，一般地记直角梯形A_nA_n+1B_n+1B_n的面积为s_n．
（1）求证数列{s_n}是公比绝对值小于1的等比数列；
（2）设{a_n}的公差d=1，是否存在这样的正整数n，构成以b_n，b_n+1，b_n+2为边长的三角形？并请说明理由；
（3）（理）设{a_n}的公差d（d＞0）为已知常数，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列{s_n}各项的和S＞2010？并请说明理由．
（4）（文）设{a_n}的公差d=1，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列{s_n}各项的和S＞2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）a_n=p+（n-1）d，（2分），
对于任意自然数n，=，
所以数列{s_n}是等比数列且公比，
因为d＞0，所以|q|＜1（4分）
（写成，得公比也可）
（2）a_n=-1+（n-1）=n-2，，
对每个正整数n，b_n＞b_n+1＞b_n+2（6分）
若以b_n，b_n+1，b_n+2为边长能构成一个三角形，
则b_n+2+b_n+1＞b_n，即，1+2＞4，
这是不可能的 （9分）
所以对每一个正整数n，以b_n，b_n+1，b_n+2为边长不能构成三角形 （10分）
（3）（理）由（1）知，0＜q＜1，（11分）
所以（14分）
若（16分）
两边取对数，知只要a₁=p取值为小于的实数，就有S＞2010（18分）
说明：如果分别给出a₁与d的具体值，说明清楚问题，也参照前面的评分标准酌情给分，但不得超过该部分分值的一半．
（4）（文），（11分）
所以=（14分）
如果存在p使得，即（16分）
两边取对数得：p＜-log₂1340，
因此符合条件的p值存在，log₂1340≈10.4，可取p=-11等 （18分）
说明：通过具体的p值，验证也可．
分析：（1））a_n=p+（n-1）d，直角梯形A_nA_n+1B_n+1B_n的两底长度AnBn=f（a_n），A_n+1B_n+1=f（a_n+1）．高为A_nA_n+1 =d，利用梯形面积公式表示出s_n．利用等比数列定义进行证明即可．
（2）a_n=-1+（n-1）=n-2，，以b_n，b_n+1，b_n+2为边长能构成一个三角形，则b_n+2+b_n+1＞b_n考查次不等式解的情况作解答．
（3）利用无穷等比数列求和公式，将S＞2010 化简为探讨p的存在性．
（4）利用无穷等比数列求和公式，将S＞2010 化简为 ，探讨p的存在性．
点评：本题是函数与数列、不等式的结合．考查等比数列的判定，含参数不等式解的讨论．考查分析解决问题，计算，逻辑思维等能力．