Question

已知椭圆+=1（0＜b＜2）的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B，过F、B、C作圆P．
（I）当b=时，求圆P的方程；
（II）直线AB与圆P能否相切？证明你的结论．

Answer 1

解：（Ⅰ）设F、B、C的坐标分别为（-c，0），（0，b），（2，0），则FC、BC的中垂线分别为，
联立两方程，解得x=，y=，即P（，）
∴b=时，圆心坐标为（，），半径PC=
∴圆P方程为（x-）²+（y-）²=…（6分）
（Ⅱ）直线AB与圆P不能相切．…（7分）
理由如下：因为，k_PB=
如果直线AB与圆P相切，则…（10分）
解得c=0或4，
又c²=4-b²∈（0，4），∴c∈（0，2），
而0，4∉（0，2），所以直线AB与圆P不能相切．…（13分）
分析：（Ⅰ）求出FC、BC的中垂线方程，联立两方程，解得P的坐标，根据b=，确定圆心坐标与半径，即可得到圆P方程；（Ⅱ）直线AB与圆P不能相切，用反证法，如果直线AB与圆P相切，求得c=0或4，与c∈（0，2）矛盾，故可得结论．
点评：本题考查解析几何综合题，能够强化学生对圆、椭圆有关知识的理解，考查计算能力，训练学生对平面解析几何相关知识的认识．中等题．