题目内容

已知椭圆 $数学公式$ + $数学公式$ =1（0＜b＜2）的离心率等于 $数学公式$ ，抛物线x²=2py （p＞0）．
（1）若抛物线的焦点F在椭圆的顶点上，求椭圆和抛物线的方程；
（2）若抛物线的焦点F为（0， $数学公式$ ），在抛物线上是否存在点P，使得过点P的切线与椭圆相交于A，B两点，且满足OA⊥OB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由椭圆方程得：a=2，e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴c= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ =1　　
∴椭圆方程为 $\text{[math]}$ ；
由题意得：抛物线的焦点应为椭圆的上顶点，即（0，1）点，∴p=2
∴抛物线方程为x²=4y
（2）由题意可得p=1，∴抛物线方程为x²=2y…①
设抛物线上存在一点P（a，b），则抛物线在点P处的切线斜率为k=y′|_x=a=a
∴过点P的切线方程为y-b=a（x-a），即y=ax-b
代入椭圆方程，可得（4a²+1）x²-8abx+4b²-4=0…②
设切线与椭圆的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），故x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =x₁x₂+y₁y₂═ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵OA⊥OB，∴ $\text{[math]}$ =0
∴4a²-5b²+4=0
代入a²=2b可得5b²-8b-4=0
∴b=2或- $\text{[math]}$ （舍去）
b=2代入①得a=±2
将a，b代入②检验△=208＞0
∴存在这样的点P（±2，2）满足条件．
分析：（1）利用椭圆的几何性质，确定椭圆的方程，可得抛物线的焦点，即可求抛物线的方程；
（2）求出过P的切线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的数量积公式，即可求得结论．
点评：本题考查椭圆、抛物线的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．