题目内容
19．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an-2n，求证：数列{an+2}为等比数列并求an．分析 通过Sn=2an-2n与Sn+1=2an+1-2（n+1）作差、整理可知an+1=2an+2，从而an+1+2=2（an+2），进而数列{an+2}是以4为首项、2为公比的等比数列，计算即得结论．
解答 证明：∵Sn=2an-2n，
∴Sn+1=2an+1-2（n+1），
两式相减得：an+1=2an+1-2an-2，
∴an+1=2an+2，
∴an+1+2=2（an+2），
又∵a1=2a1-2，即a1=2，
∴a1+2=2+2=4，
∴数列{an+2}是以4为首项、2为公比的等比数列，
∴an+2=4•2n-1=2n+1，
∴an=2n+1-2．
点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．
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