Question

若实数a＞0且a≠2，函数f（x）=

1

3

ax³-

1

2

（a+2）x²+2x+1．
（1）证明函数f（x）在x=1处取得极值，并求出函数f（x）的单调区间；
（2）若在区间（0，+∞）上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＜1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）可以求出函数的导数，利用导数研究单调区间，对于含有一个参数的单调区间问题，要注意讨论参数a的情况，即：0＜a＜2和a＞2来进行讨论，要对x，以及f（x），f′（x）的变化情况表列正确．
（2）本题可以转化为函数f（x）在区间（0，+∞）上f（x）_极小值＜1即可解答，可以利用（1）的结论，注意对参数a的讨论．

解答：解：（1）由已知可得：f′(x)=ax2-(a+2)x+2=a(x-1)(x-

2

a

)   （2分）
当a＞2时，自变量x，以及f（x），f′（x）的变化情况如下表：

x	(-∞， 2 a )	2 a	( 2 a ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

∴函数在x=1处取得极值，f（x）的单调递增区间是(-∞，

2

a

)，（1，+∞）
单调递减区间是(

2

a

，1)  （4分）
当0＜a＜2时自变量x，以及f（x），f′（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，1）	1	(1， 2 a )	2 a	( 2 a ，+∞)
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

∴函数f（x）在x=1处取得极值，f（x）的单调递增区间是（-∞，1）和(

2

a

，+∞)，单调递减区间是(1，

2

a

)   （6分）
（2）因为f（0）=1，由（1）知要使在区间（0，+∞）上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＜1成立，
只需在区间（0，+∞）上f（x）_极小值＜1即可   （8分）
当a＞2时，f（x）_极小值=f（1）=2-

a

6

＜1，所以a＞6
当0＜a＜2时，f(x)极小值=f(

2

a

)  =1+

2(3a-2)

3a2

＜1恒成立，
所以0＜a＜

2

3

综上所述，实数a的取值范围为(0，

2

3

)∪(6，+∞)  （12分）

点评：本题考查函数的导数及其应用，求函数的极值，判断函数取得极值的条件以及应用，利用导数研究含一个参数a的函数的单调区间问题，考查了分类讨论思想．