(1)解:令B(x
1,y
1),C(x
2,y
2).
当BC与x轴垂直时,有x
1=x
2,y
1=-y
2,
故:3=

∴x
1=

,与|x
1|≥

矛盾,因此BC不与x轴垂直..(3分)
当BC与y轴垂直时,有x
1=-x
2,y
1=y
2,
故:3=

∴y
1=-

,因此BC可与y轴垂直,此时BC的方程为y=-

.(5分)
(2)证明:当BC不与坐标轴垂直时,k
AB•k
AC=

=3,
故3(x
1-1)(x
2-1)=(y
1-1)(y
2-1).…①…(6分)
令BC:y=kx+b,代入双曲线方程有:2x
2-(kx+b)
2=1?(2-k
2)x
2-2kbx-b
2-1=0.…②
x
1,x
2是方程②的两个实根.令f(x)=(2-k
2)x
2-2kbx-b
2-1,
则(x
1-1)(x
2-1)=

.③…..(8分)
直线方程又可写成:x=

,代入2x
2-y
2=1,有:2(y-b)
2-k
2y
2=k
2,整理得:(2-k
2)y
2-4by+2b
2-k
2=0.…④
y
1,y
2是方程④的两个实根.
令g(y)=(2-k
2)y
2-4by+2b
2-k
2.
(y
1-1)(y
2-1)=

.…⑤…(10分)
③,⑤两式代入①式,有:

,
故3[1-(k+b)
2]=2[(b-1)
2-k
2],
从而:3(1-k-b)(1+k+b)=2(b-1-k)(b-1+k).…⑥
因为点A(1,1)不在直线y=kx+b上,故k+b≠1.
利用⑥,可知:3 (1+k+b)+2(b-1-k)=0,
即k+5b+1=0,所以

.
因此直线BC过定点M

,直线y=-

也过定点M.
综上所述,直线BC恒过定点M

.…(14分)
分析:(1)分类讨论,利用直线AB,AC的斜率的乘积为3,即可求得结论;
(2)令BC:y=kx+b,代入双曲线方程,得出k+5b+1=0,所以

,因此直线BC过定点M

,直线y=-

也过定点,从而可得结论.
点评:本题考查直线与双曲线的位置关系,考查直线恒过定点,考查学生的计算能力,难度较大.