Question

设函数f(x)=a-

2

2x+1

，
（1）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数；
（2）确定a的值，使f（x）为奇函数及此时f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）∵f（x）的定义域为R，任设x₁＜x₂，化简f（x₁）-f（x₂）到因式乘积的形式，判断符号，得出结论．
（2）由f（-x）=-f（x），解出a的值，进而得到函数的解析式：f(x)=1-

2

2x+1

．
由 2^x+1＞1，可得函数的值域．

解答：解：（1）∵f（x）的定义域为R，设 x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=a-

2

2x1+1

-a+

2

2x2+1

=

2•(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．
（2）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），
即a-

2

2-x+1

=-a+

2

2x+1

，
解得：a=1．∴f(x)=1-

2

2x+1

．
∵2^x+1＞1，∴0＜

2

2x+1

＜2，
∴-2＜-

2

2x+1

＜0，∴-1＜f(x)＜1
所以f（x）的值域为（-1，1）．

点评：本题考查证明函数的单调性的方法、步骤，利用奇函数的定义求待定系数的值，及求函数的值域．