题目内容

11.已知函数f(x)=x2+mx+n的图象过点(1,3),且f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成立,函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于原点对称.
(1)求f(x)与g(x)的解析式;
(2)若F(x)=g(x)-λf(x)在[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围.

分析 (1)由题意,1+m+n=3,对称轴x=-$\frac{m}{2}$=-1,求出m,n,即可求出f(x)的解析式;利用函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于原点对称,求出g(x)的解析式;
(2)若F(x)=g(x)-λf(x)在[-1,1]上是增函数,F′(x)=-2(1+λ)x+2(1-λ)≥0在[-1,1]上成立,分离参数求出最小值,即可求实数λ的取值范围.

解答 解:(1)由题意,1+m+n=3,对称轴x=-$\frac{m}{2}$=-1,
∴m=2,n=0,
∴f(x)=x2+2x;
y=g(x)上任取点(x,y),则
∵函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于原点对称,
∴(-x,-y)在y=f(x)的图象上,
∴y=-x2+2x,
∴g(x)=-x2+2x;
(2)∵F(x)=g(x)-λf(x)=-(1+λ)x+2(1-λ)x在[-1,1]上是增函数,
∴F′(x)=-2(1+λ)x+2(1-λ)≥0在[-1,1]上成立,
∴λ≤$\frac{1-x}{1+x}$=$\frac{2}{1+x}$-1在[-1,1]上成立,
∵$\frac{2}{1+x}$-1在[-1,1]上的最小值为0,
∴λ≤0.

点评 本题考查函数解析式,考查恒成立问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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