Question

19．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，P分别为棱DD₁，CD，B₁C的中点．求四面体B-PEF的体积．

Answer 1

分析 取CC₁中点M，连结PM，EM，则四面体B-PEF的体积等于棱锥E-BCMP的体积减去棱锥P-CMEF和棱锥P-BCF的体积．

解答 解：取CC₁中点M，取BC中点N，连结PM，EM，PN，
则四边形BCMP和四边形CMEF是直角梯形，PM=PN=CF=$\frac{1}{2}$，EM=BC=1，且PM⊥平面CMEF，PN⊥平面BCF，
∴S_梯形BCMP=$\frac{1}{2}$（PM+BC）•MC=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$+1）×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$，
S_梯形CMEF=$\frac{1}{2}$（EM+FC）•MC=$\frac{1}{2}$×（1+$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$，
∴V_棱锥E-BCMP=$\frac{1}{3}$•S_梯形BCMP•EM=$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{8}$×1=$\frac{1}{8}$，
V_棱锥P-CMEF=$\frac{1}{3}$•S_梯形CMEF•PM=$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{8}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{16}$，
V_棱锥P-BCF=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×FC×BC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{24}$．
∴V_棱锥B-PEF=V_棱锥E-BCMP-V_棱锥P-CMEF-V_棱锥P-BCF=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{16}$-$\frac{1}{24}$=$\frac{1}{48}$．

点评 本题考查了空间几何体的体积的体积计算，作差法是求不规则几何体体积的一种常用方法．