Question

如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥DC，∠CAB=

π

4

，tan∠ACB=

1

2

，AC交BD于O．
（Ⅰ）若SB⊥平面ABCD，求证：AC⊥平面SBD；
（Ⅱ）已知点E，P分别在SD，SA上，满足3DE=4ES，AP=2PS．
求证：PB∥面EAC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）只要证明AC⊥BD，AC⊥SB即可；
（Ⅱ）连DP交AE于F，只要证明DF：DP=DO：DB=2：3，就能得到OF∥BP，即得证．

解答：证明：（Ⅰ）∵四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥DC，∠CAB=

π

4

，AC交BD于O．
∴∠OBA=

π

4

，又由∠AOB=π-∠OBA-∠CAB，
所以∠AOB=

π

2

，即得AC⊥BD
又∵SB⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴AC⊥SB，又∵BD∩SB=B
∴AC⊥平面SBD；
（Ⅱ）连接DP交AE于F，连接OF

由（Ⅰ）知，AC⊥BD，又由tan∠ACB=tan∠BDA=

1

2

，
∴

DO

OB

=

2

1

，故

DO

DB

=

2

3

又由点E，P分别在SD，SA上，满足3DE=4ES，AP=2PS．
故

DF

DP

=

2

3

，所以

DF

DP

=

2

3

=

DO

DB

，
∴OF∥BP
又OF?平面ACE，BP?平面ACE
∴BP∥平面ACE．

点评：本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，考查学生转化思想，逻辑思维能力，是中档题．