题目内容
13.如图,梯形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=2AB=4,E,F分别在线段BC,AD上,EF∥AB.将四边形ABEF沿EF折起,连接AD,AC.(Ⅰ)若BE=3,在线段AD上一点取一点P,使AP=$\frac{1}{2}$PD,求证:CP∥平面ABEF;
(Ⅱ)若平面ABEF⊥平面EFDC,且线段FA,FC,FD的长成等比数列,求二面角E-AC-F的大小.
分析 (Ⅰ)在线段AF上取点Q,使AQ=$\frac{1}{2}$QF,连接PQ、QE,通过已知条件可得四边形ECPQ为平行四边形,利用线面平行的判定定理即得结论;
(Ⅱ)通过线段AF,FC,FD的长成等比数列,计算可得AF=2.以F为原点,FE,FD,FA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则所求角的余弦值即为平面ACE的一个法向量与平面ACF的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值,计算即可.
解答 (Ⅰ)证明:在梯形ABCD中,AD∥BC,EF∥AB,BE=3,∴AF=3,
又AD=6,BC=4,∴EC=1,FD=3,
在线段AF上取点Q,使AQ=$\frac{1}{2}$QF,连接PQ、QE,
∵AP=$\frac{1}{2}$PD,∴PQ∥DF且PQ=$\frac{1}{3}$DF,
∵CE∥DF且CE=$\frac{1}{3}$DF,∴CE∥PQ且CE=PQ,
∴四边形ECPQ为平行四边形,∴CP∥EQ,
∵CP?平面ABEF,EQ?平面ABEF,
∴CP∥平面ABEF;
(Ⅱ)解:在梯形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,
∴EF⊥AF,EF⊥FD,
∵平面ABEF⊥平面EFDC,平面ABEF∩平面EFDC=EF,AF?平面EFDC,
∴AF⊥平面EFDC,
设AF=x(0<x<4),
∵EF=BA=2,∴FD=6-x,EC=4-x,
∴FC=$\sqrt{4+(4-x)^{2}}$,
∵线段AF,FC,FD的长成等比数列,
∴FC2=AF•FD,即4+(4-x)2=x(6-x),
化简得x2-7x+10=0,∴x=2或x=5(舍),
以F为原点,FE,FD,FA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,
则F(0,0,0),E(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),A(0,0,2),
∴$\overrightarrow{EC}$=(0,2,0),$\overrightarrow{EA}$=(-2,0,2),
设$\overrightarrow{m}$=(x,y,z)是平面ACE的一个法向量,
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EA}=0}\end{array}\right.$,得$\left\{\begin{array}{l}{2y=0}\\{-2x+2z=0}\end{array}\right.$,
取z=1,得∴$\overrightarrow{m}$=(1,0,1),
又$\overrightarrow{FC}$=(2,2,0),$\overrightarrow{FA}$=(0,0,2),
设$\overrightarrow{n}$=(x,y,z)是平面ACF的一个法向量,
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FA}=0}\end{array}\right.$,得$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{2z=0}\end{array}\right.$,
取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,-1,0),
∴$cos<\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$,
∵二面角E-AC-F为锐角,
∴二面角E-AC-F为$\frac{π}{3}$.
点评 本题以翻折的图形为载体,考查空间点、线、面位置关系、线面平行证明及求二面角大小等有关基础知识,同时结合考查数列知识.本题考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力,考查数形结合和化归与转化等数学思想方法.