题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，侧面
是等边三角形，且平面
平面
，
为
的中点，
，
，
，
．
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值；
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）取
中点
，由中位线性质可知
且
，由此可得
，证得
，根据线面平行的判定定理即可证得结论；
（2）取
中点
，由面面垂直性质可知
平面
，结合平行关系知
，由此可建立以为原点的空间直角坐标系，利用二面角的向量求法求得结果.
（1）取中点，连结
，
分别为
中点，
且
又
，
四边形
为平行四边形 
平面
，
平面 
平面
（2）取中点，连接
，
等边三角形 
平面
平面，平面
平面
，
平面
，
四边形
为平行四边形 
则以为坐标原点，可建立如图所示空间直角坐标系
则
，
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
则
，令
，则
，
显然，平面
的一个法向量为
二面角
为锐二面角 二面角的余弦值为
名校课堂系列答案【题目】近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：
土地使用面积 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
管理时间 | 8 | 10 | 13 | 25 | 24 |
并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:
愿意参与管理 | 不愿意参与管理 | |
男性村民 | 150 | 50 |
女性村民 | 50 |
（1）求出相关系数
的大小，并判断管理时间
与土地使用面积
是否线性相关？
（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？
（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求的分布列及数学期望。
参考公式：
其中
。临界值表：
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
参考数据：
【题目】第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行.它是中国政府坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开放市场的重要举措，有利于促进世界各国加强经贸交流合作，促进全球贸易和世界经济增长，推动开放世界经济发展.某机构为了解人们对“进博会”的关注度是否与性别有关，随机抽取了100名不同性别的人员（男、女各50名）进行问卷调查，并得到如下
列联表：
男性 | 女性 | 合计 | |
关注度极高 | 35 | 14 | 49 |
关注度一般 | 15 | 36 | 51 |
合计 | 50 | 50 | 100 |
（1）根据列联表，能否有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关；
（2）若从关注度极高的被调查者中按男女分层抽样的方法抽取7人了解他们从事的职业情况，再从7人中任意选取2人谈谈关注“进博会”的原因，求这2人中至少有一名女性的概率.
附：
.
参考数据：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
