题目内容

在数列(an)中,an=2n-1,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素cij=ai•aj+ai+aj(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12),则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )
A.18
B.28
C.48
D.63
【答案】分析:由于该矩阵的第i行第j列的元素cij=ai•aj+ai+aj=(2i-1)(2j-1)+2i-1+2j-1=2i+j-1(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12),要使aij=amn(i,m=1,2,…,7;j,n=1,2,…,12).
则满足2i+j-1=2m+n-1,得到i+j=m+n,由指数函数的单调性可得:当i+j≠m+n时,aij≠amn,因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和,即可得出.
解答:解:该矩阵的第i行第j列的元素cij=ai•aj+ai+aj=(2i-1)(2j-1)+2i-1+2j-1=2i+j-1(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12),
当且仅当:i+j=m+n时,aij=amn(i,m=1,2,…,7;j,n=1,2,…,12),
因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和,其和为2,3,…,19,共18个不同数值.
故选A.
点评:由题意得出:当且仅当i+j=m+n时,aij=amn(i,m=1,2,…,7;j,n=1,2,…,12)是解题的关键.
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