Question

如图，某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作：先在地平面α内作菱形ABCD，边长为1，∠BAD=60°，再在α的上侧，分别以△ABD与△CBD为底面安装上相同的正棱锥P-ABD与Q-CBD，∠APB=90°．
（1）求证：PQ⊥BD；
（2）设AC与BD交于E，求cos∠PEQ；
（3）求点P到平面QBD的距离．

Answer 1

分析：（1）欲证PQ⊥BD，取BD中点E，连接PE、QE，只须证明BD⊥平面PQE，从而BD⊥PQ．
（2）先在三角形PEQ分别求出各边的长度，再利用余弦定理即可求得cos∠PEQ．
（3）由（1）知BD⊥平面PEQ．设点P到平面QBD的距离为h，利用三棱锥的等体积变换即可求得点P到平面QBD的距离．

解答：解：（1）由P-ABD，Q-CBD是相同正三棱锥，可知△PBD与△QBD是全等等腰△．取BD中点E，连接PE、QE，则BD⊥PE，BD⊥QE．
故BD⊥平面PQE，从而BD⊥PQ．
（2）作PM⊥平面α，垂足为M，作QN⊥平面α，垂足为N，则PM∥QN，M、N分别是正△ABD与正△BCD的中心，从而点A、M、E、N、C共线，PM与QN确定平面PACQ，且PMNQ为矩形．可得ME=NE=

3

6

，
PE=QE=

1

2

，PQ=MN=

3

3

，∴cos∠PEQ=

PE2+QE2-PQ2

2PE•QE

=

1

3

，
（3）由（1）知BD⊥平面PEQ．设点P到平面QBD的距离为h，则VP-QBD=

1

3

•S△QBD•h=

1

12

h
∴VP-QBD=

1

3

S△PEDBD=

1

24

sin∠PEQ=

1

24

1-( 1 3 )2

=

2

36

．
∴

1

12

h=

2

36

．∴h=

2

3

．

点评：本小题主要考查异面直线所成的角、空间中直线与直线之间的位置关系、点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．