题目内容

若
a
、
b
是两个不共线的非零向量（t∈R）．
（1）若
a
、
b
起点相同，t为何值时，若
a
、t
b
、
1
3
（
a
+
b
）三向量的终点在一直线上？
（2）若|
a
|=|
b
|且
a
与
b
是夹角为60°，那么t为何值时，|
a
-t
b
|有最小？
分析：（1）用两个向量共线的充要条件，可解决平面几何中的平行问题或共线问题，根据三个向量的终点在一条直线上，构造向量，得到向量之间的关系，得到要求的结果．
（2）求一个量的最小值，一般要先表示出这个变量，对于模长的运算，要对求得结果两边平方，变化为向量的数量积和模长之间的运算，根据二次函数的最值得到结果．
解答：解：（1）设
a
-t
b
=m[
a
-
1
3
（
a
+
b
）]（m∈R），
化简得（
2m
3
-1）
a
=（
m
3
-t）
b
．
∵
a
与
b
不共线，
∴
2m
3
-1=0
m
3
-t=0
?
m=
3
2
t=
1
2
.

∴t=
1
2
时，
a
、t
b
、
1
3
（
a
+
b
）的终点在一直线上．
（2）|
a
-t
b
|2=（
a
-t
b
）2=|
a
|2+t2|
b
|2-2t|
a
||
b
|cos60°=（1+t2-t）|
a
|2，
∴t=
1
2
时，|
a
-t
b
|有最小值
3
2
|
b
|．
点评：本题表面上是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模，用数量积列出式子，但是这步工作做完以后，题目的重心转移到求值域的问题，用二次函数求值域．
练习册系列答案
相关题目
给出以下四个命题：
①对任意两个向量
a
，
b
都有|
a
•
b
|=|
a
|•|
b
|；
②若
a
，
b
是两个不共线的向量，且
AB
=λ1
a
+
b
，
AC
=
a
+λ2
b
(λ1，λ2∈R)，则A、B、C共线?λ1λ2=-1；
③若向量
a
=(cosα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，则
a
+
b
与
a
-
b
的夹角为90°；
④若向量
a
、
b
满足|
a
|=3，|
b
|=4，|
a
+
b
|=
13
，则
a
，
b
的夹角为60°．
以上命题中，错误命题的序号是
 
．

若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a,tb,(a+b)三向量的终点在同一条直线上？

给出以下四个命题：

①对任意两个向量a，b都有|a·b|＝|a||b|；

②若a，b是两个不共线的向量，且＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A、B、C共线⇔λ1λ2＝－1；

③若向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则a＋b与a－b的夹角为90°.

④若向量a、b满足|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝，则a，b的夹角为60°.

以上命题中，错误命题的序号是________．

若a，b是两个不共线的非零向量，t∈R.若|a|＝|b|=2且a与b夹角为60°，t为何值时，|a－tb|的值最小？

 

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