题目内容
△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,,若,则sinB+sinC的取值范围是( )A.
B.(,]
C.[,1)
D.[,1)
【答案】分析:利用向量的坐标运算结合余弦定理可求得角A,从而利用两角和的正弦与辅助角公式可求sinB+sinC的取值范围.
解答:解:∵=(a+b,c),=(b-a,c-b),⊥,
∴(a+b)(b-a)+c(c-b)=0,
∴a2=b2+c2-bc,
由余弦定理知,a2=b2+c2-2bccosA,
∴cosA=,而A为△ABC的内角,
∴A=.
∵△ABC中,A+B+C=π,
∴B+C=π-A=,
∴sinB+sinC
=sin(-C)+sinC
=cosC-(-)sinC+sinC
=sinC+cosC
=sin(C+).
∵0<C<,故<C+<.
∴<sin(C+)≤1.
∴<sin(C+)≤.即<sinB+sinC≤.
故选B.
点评:本题考查余弦定理,考查数量积判断两个平面向量的垂直关系,考查三角函数间的关系式,属于中档题.
解答:解:∵=(a+b,c),=(b-a,c-b),⊥,
∴(a+b)(b-a)+c(c-b)=0,
∴a2=b2+c2-bc,
由余弦定理知,a2=b2+c2-2bccosA,
∴cosA=,而A为△ABC的内角,
∴A=.
∵△ABC中,A+B+C=π,
∴B+C=π-A=,
∴sinB+sinC
=sin(-C)+sinC
=cosC-(-)sinC+sinC
=sinC+cosC
=sin(C+).
∵0<C<,故<C+<.
∴<sin(C+)≤1.
∴<sin(C+)≤.即<sinB+sinC≤.
故选B.
点评:本题考查余弦定理,考查数量积判断两个平面向量的垂直关系,考查三角函数间的关系式,属于中档题.
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