Question

20．已知数列{a_n}的前n项和S_n=kcⁿ-k（其中c，k为常数），且a₈=4，a₁₁=8a₉，满足a₁+a₂+…+a_n＞a₁a₂…a_n的最大正整数n的值为12．

Answer 1

分析 S_n=kcⁿ-k（其中c，k为常数），当n＞1时，可得a_n=S_n-S_n-1=k（cⁿ-c^n-1），利用$\frac{{a}_{11}}{{a}_{9}}$=8，解得c．利用a₈=4，解得k．可得a_n=2^n-6．根据a₁+a₂+…+a_n＞a₁a₂…a_n，利用等差数列与等比数列的前n项和公式可得${2}^{n-5}-{2}^{\frac{{n}^{2}-11n}{2}}$＞2^-5＞0，解出即可．

解答 解：∵S_n=kcⁿ-k（其中c，k为常数），当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=k（cⁿ-c^n-1），
∴$\frac{{a}_{12}}{{a}_{9}}$=$\frac{k（{c}^{12}-{c}^{11}）}{k（{c}^{9}-{c}^{8}）}$=c³=8，解得c=2．
∵a₈=4，
∴k（2⁸-2⁷）=4，解得$k=\frac{1}{{2}^{5}}$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{5}}（{2}^{n}-{2}^{n-1}）$=2^n-6（n＞1），当n=1时也符合，
∴${a}_{n}={2}^{n-6}$．
∵a₁+a₂+…+a_n＞a₁a₂…a_n，
∴$\frac{1}{{2}^{5}}（{2}^{n}-1）$＞${2}^{\frac{n（-5+n-6）}{2}}$=${2}^{\frac{n（n-11）}{2}}$，
∴${2}^{n-5}-{2}^{\frac{{n}^{2}-11n}{2}}$＞2^-5＞0，
∴n-5＞$\frac{{n}^{2}-11n}{2}$，解得$\frac{13-\sqrt{129}}{2}$＜n$＜\frac{13+\sqrt{129}}{2}$，
∵n∈N^*，∴1≤n≤12，
∴n的最大值为12．
故答案为：12．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的前n项和公式、不等式的性质、指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．