Question

．（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，动点与两个定点，的距离之比为．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若直线：与曲线交于，两点，在曲线上是否存在一点，使得，若存在，求出此时直线的斜率；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设点的坐标为，依题意，，        ………1分
即 ，                  ……………………3分
化简得．
所以动点的轨迹的方程为．            ……………………5分
（Ⅱ）因为直线：与曲线相交于，两点，
所以 ，
所以或．            ……………………7分
假设存在点，使得．                 ……………………8分
因为，在圆上，且，
由向量加法的平行四边形法则可知四边形为菱形，
所以与互相垂直且平分，                     …………9分
所以原点到直线：的距离为．…………10分
即 ，解得， ，经验证满足条件．……………………12分
所以存在点，使得．                   ……………………13分

略