题目内容

设t∈R，m，n都是不为1的正数，函数f(x)＝mx＋t·nx．

(1)若m，n满足mn＝1，请判断函数y＝f(x)是否具有奇偶性．如果具有，求出相应的t的值；如果不具有，请说明理由；

(2)若m＝2，n＝，且t≠0，请判断函数y＝f(x)的图象是否具有对称性．如果具有，请求出对称轴方程或对称中心坐标；若不具有，请说明理由．

答案：
解析：

　　解：(1)因为，所以　2分

　　是偶函数恒成立恒成立．　4分

　　是奇函数恒成立恒成立．　6分

　　因为m，n都是不为1的正数，且，所以，

　　故当且仅当t＝1时，是偶函数；当且仅当时，是奇函数．　8分

　　(2)当时，．

　　如果，那么，

　　于是有，

　　所以函数的图象是关于点对称的中心对称图形．　12分

　　如果，那么，

　　于是有，

　　所以函数的图象是关于直线对称的轴对称图形．　16分


练习册系列答案
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对于定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＞c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平底型”函数．
（Ⅰ）判断函数f1（x）=|x-1|+|x-2|和f2（x）=x+|x-2|是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；
（Ⅱ）设f（x）是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）对一切t∈R恒成立，求实数x的取值范围；
（Ⅲ）若函数g(x)=mx+
x2+2x+n
是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数，求m和n的值．

（本小题满分16分）

设R，m，n都是不为1的正数，函数

（1）若m，n满足，请判断函数是否具有奇偶性. 如果具有，求出相

应的t的值；如果不具有，请说明理由；

（2）若，且，请判断函数的图象是否具有对称性. 如果具

有，请求出对称轴方程或对称中心坐标；若不具有，请说明理由.

  

 

（本小题满分16分）

设R，m，n都是不为1的正数，函数

（1）若m，n满足，请判断函数是否具有奇偶性. 如果具有，求出相

应的t的值；如果不具有，请说明理由；

（2）若，且，请判断函数的图象是否具有对称性. 如果具

有，请求出对称轴方程或对称中心坐标；若不具有，请说明理由.

  

 

（本小题满分16分）

设R，m，n都是不为1的正数，函数

（1）若m，n满足，请判断函数是否具有奇偶性. 如果具有，求出相

应的t的值；如果不具有，请说明理由；

（2）若，且，请判断函数的图象是否具有对称性. 如果具

有，请求出对称轴方程或对称中心坐标；若不具有，请说明理由.

  

 

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