Question

已知正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的上底面?下底面周长分别为8和16，高为

3

（1）求上?下底面面积；
（2）求斜高及侧面积；
（3）求表面积．

Answer 1

分析：（1）根据正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的上底面?下底面是正方形，依据它们的周长求出边长，再求面积；
（2）在正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，找出上、下底边心距

a

2

，

b

2

的差，高h，斜高h′构成一个直角三角形，用勾股定理求出斜高；
（3）利用表面积S_表=S_上底+S_下底+S_侧结合已知条件即可得出表面积．

解答：解：设上底的边长为a，下底的边长为b，斜高为h′．
（1）∵4a=8，∴a=2，∴S_上=a²=4，
∵4b=16，∴b=4，∴S_下=b²=16．
故上?下底面面积分别为4，16．
（2）由于上、下底边心距

a

2

，

b

2

的差，高h，斜高h′构成一个直角三角形如右下图，
∴h′=

h2+( b 2 - a 2 ) 2

=

3+1

=2，即斜高为2．
一个侧面面积=

2+4

2

×h′=6，
∴侧面积=4×6=24．
（3）S_表=S_上底+S_下底+S_侧=4+16+24=44，
即表面积为44．

点评：本题考查棱台的结构特征、正四棱台的性质、棱柱、棱锥、棱台的体积，构造直角梯形和直角三角形，利用勾股定理是解决问题的关键．