题目内容

(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)若点E在线段BO上,且二面角E-PC-A的大小为60°,求线段OE的长.
分析:(1)证明BD⊥平面PAC,利用线面垂直的判定,只需证明PA⊥BD,AC⊥BD;
(2)作出二面角的平面角,再利用三角函数,即可求得结论.
(2)作出二面角的平面角,再利用三角函数,即可求得结论.
解答:(1)证明:因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,
又因为PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD,
因为PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC;
(2)解:由(1)知,EO⊥平面PAC,过O作OF⊥PC,连接EF,则EF⊥PC
∴∠EFO为二面角E-PC-A的平面角,即∠EFO=60°
在直角△PAC中,PA=4,AC=4,∴∠PCA=45°,∴OF=OC×sin45°=
在直角△EOF中,OF=
,∠EFO=60°,∴OE=OF•tan60°=

又因为PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD,
因为PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC;
(2)解:由(1)知,EO⊥平面PAC,过O作OF⊥PC,连接EF,则EF⊥PC
∴∠EFO为二面角E-PC-A的平面角,即∠EFO=60°
在直角△PAC中,PA=4,AC=4,∴∠PCA=45°,∴OF=OC×sin45°=
2 |
在直角△EOF中,OF=
2 |
6 |
点评:本题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断,考查面面角,正确运用线面垂直的判定,作出面面角是关键.

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