题目内容
已知向量
=(2cos2x，
)，
=(1，sin2x)，函数f(x)=
•
．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=3，c=1，ab=2
，且a＞b，求a，b的值．
| m |
| 3 |
| n |
| m |
| n |
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=3，c=1，ab=2
| 3 |
分析：（1）利用两个向量的数量积公式化简函数f（x） 的解析式为2sin（
+2x）+1，由此求得它的最小正周期．
（2）在△ABC中，由f（C）=3求得 C=
．再利用 c=1，ab=2
，且a＞b 以及余弦定理求得a，b的值．
| π |
| 6 |
（2）在△ABC中，由f（C）=3求得 C=
| π |
| 6 |
| 3 |
解答：解：（1）∵函数f（x）=
•
=2cos2x+
sin2x=cos2x+
sin2x+1=2sin（
+2x）+1，
故函数的最小正周期等于
=π．
令 2kπ-
≤
+2x≤2kπ+
，k∈z，可得kπ-
≤x≤2kπ+
，k∈z，故函数f（x）的单调增区间为[kπ-
，2kπ+
]，k∈z．
（2）在△ABC中，∵f（C）=3=2sin（
+2C）+1，∴sin（
+2C）=1，∴C=
．
∵c=1，ab=2
，且a＞b，再由余弦定理可得 1=a2+b2-2ab•cosC，故 a2+b2=7．
解得 a=2，b=
．
| m |
| n |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
故函数的最小正周期等于
| 2π |
| 2 |
令 2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
（2）在△ABC中，∵f（C）=3=2sin（
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
∵c=1，ab=2
| 3 |
解得 a=2，b=
| 3 |
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，复合三角函数的周期性、单调性，以及余弦定理的应用，属于中档题．
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