题目内容

已知函数 $数学公式$
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若以y=f（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率 $数学公式$ 恒成立，求实数a的最小值．

解：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ ，得： $\text{[math]}$
∵函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，且a＞0．
∴当x∈（0，a）时，f^′（x）＜0，
当x∈（a，+∞）时，f^′（x）＞0．
∴函数f（x）的减区间为（0，a），增区间为（a，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得： $\text{[math]}$ ，
以y=f（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率 $\text{[math]}$ 恒成立，
即 $\text{[math]}$ 对x₀∈（0，3]恒成立，即 $\text{[math]}$ 对x₀∈（0，3]恒成立，
也就是 $\text{[math]}$ 对x₀∈（0，3]恒成立，
令g（x）= $\text{[math]}$ （x₀∈（0，3]），
当x=1时， $\text{[math]}$ ，
∴a $\text{[math]}$ ．
∴所求实数a的最小值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，在函数的定义域内分x∈（0，a）和（a，+∞）讨论导函数的符号，从而得到原函数的单调区间；
（Ⅱ）求出函数在x=x₀处的导函数，根据题意以y=f（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率 $\text{[math]}$ 恒成立，可得导函数 $\text{[math]}$ 对x₀∈（0，3]恒成立，分离参数后求函数的最大值．
点评：本题考查了利用函数的导函数研究函数的单调性，考查了导数的几何意义，函数在图象上某点处的切线的斜率就是在该点处的导数值，考查了利用分离变量法求参数的取值范围，此题是中档题．