题目内容
已知函数
(I)求f(x)的单调区间;
(II)若以y=f(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率恒成立,求实数a的最小值.
解:(Ⅰ)由,得:
∵函数f(x)的定义域为{x|x>0},且a>0.
∴当x∈(0,a)时,f′(x)<0,
当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0.
∴函数f(x)的减区间为(0,a),增区间为(a,+∞).
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:,
以y=f(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率恒成立,
即对x0∈(0,3]恒成立,即对x0∈(0,3]恒成立,
也就是对x0∈(0,3]恒成立,
令g(x)= (x0∈(0,3]),
当x=1时,,
∴a.
∴所求实数a的最小值为.
分析:(Ⅰ)求出原函数的导函数,在函数的定义域内分x∈(0,a)和(a,+∞)讨论导函数的符号,从而得到原函数的单调区间;
(Ⅱ)求出函数在x=x0处的导函数,根据题意以y=f(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率恒成立,可得导函数对x0∈(0,3]恒成立,分离参数后求函数的最大值.
点评:本题考查了利用函数的导函数研究函数的单调性,考查了导数的几何意义,函数在图象上某点处的切线的斜率就是在该点处的导数值,考查了利用分离变量法求参数的取值范围,此题是中档题.
∵函数f(x)的定义域为{x|x>0},且a>0.
∴当x∈(0,a)时,f′(x)<0,
当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0.
∴函数f(x)的减区间为(0,a),增区间为(a,+∞).
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:,
以y=f(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率恒成立,
即对x0∈(0,3]恒成立,即对x0∈(0,3]恒成立,
也就是对x0∈(0,3]恒成立,
令g(x)= (x0∈(0,3]),
当x=1时,,
∴a.
∴所求实数a的最小值为.
分析:(Ⅰ)求出原函数的导函数,在函数的定义域内分x∈(0,a)和(a,+∞)讨论导函数的符号,从而得到原函数的单调区间;
(Ⅱ)求出函数在x=x0处的导函数,根据题意以y=f(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率恒成立,可得导函数对x0∈(0,3]恒成立,分离参数后求函数的最大值.
点评:本题考查了利用函数的导函数研究函数的单调性,考查了导数的几何意义,函数在图象上某点处的切线的斜率就是在该点处的导数值,考查了利用分离变量法求参数的取值范围,此题是中档题.
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