题目内容

已知椭圆M的对称轴为坐标轴，且抛物线 $数学公式$ 的焦点是椭圆M的一个焦点，又点A $数学公式$ 在椭圆M上．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）已知直线l的方向向量为 $数学公式$ ，若直线l与椭圆M交于B、C两点，求△ABC面积的最大值．

解：（Ⅰ）由已知抛物线的焦点为 $\text{[math]}$ ，故设椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．
将点 $\text{[math]}$ 代入方程得 $\text{[math]}$ ，整理得a⁴-5a²+4=0，
解得a²=4或a²=1（舍）．
故所求椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．（6分）
（Ⅱ）设直线BC的方程为 $\text{[math]}$ ，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
代入椭圆方程并化简得 $\text{[math]}$ ，
由△=8m²-16（m²-4）=8（8-m²）＞0，可得m²＜8．（*）
由 $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ ．
又点A到BC的距离为 $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ ，
当且仅当2m²=16-2m²，即m=±2时取等号（满足*式）
所以△ABC面积的最大值为 $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：（Ⅰ）先求出抛物线的焦点坐标，进而设出椭圆方程，再把点A $\text{[math]}$ 代入方程求出a，即可求椭圆M的方程；
（Ⅱ）先利用直线l的方向向量为 $\text{[math]}$ ，求出直线的斜率，设出直线方程；再与椭圆方程联立，求出B、C两点的坐标与m的关系；再求出B、C两点之间的线段长以及点A到BC的距离，代入△ABC面积的表达式，再结合不等式的有关知识求出△ABC面积的最大值即可．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．第一问涉及到了求抛物线的焦点坐标，在求抛物线的焦点坐标时，一定注意先把抛物线方程转化为标准形式，再求解，避免出错．