Question

已知函数f(x)=

2x-1  x≤0 f(x-1)+1  x＞0

，把方程f（x）=x的根按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（　　）

• A、an=

  n(n-1)

  2

  （n∈N^*）
• B、a_n=n（n-1）（n∈N^*）
• C、a_n=n-1（n∈N^*）
• D、a_n=2ⁿ-2（n∈N^*）

Answer 1

分析：函数y=f（x）与y=x在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）-x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．方程f（x）-x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…其通项公式为a_n=n-1．

解答：解：若0＜x≤1，则-1＜x-1＜0，得f（x）=f（x-1）+1=2^x-1，
若1＜x≤2，则0＜x-1≤1，得f（x）=f（x-1）+1=2^x-2+1
若2＜x≤3，则1＜x-1≤2，得f（x）=f（x-1）+1=2^x-3+2
若3＜x≤4，则2＜x-1＜3，得f（x）=f（x-1）+1=2^x-4+3
以此类推，若n＜x≤n+1（其中n∈N），则f（x）=f（x-1）+1=2^x-n-1+n，
下面分析函数f（x）=2^x的图象与直线y=x+1的交点
很显然，它们有两个交点（0，1）和（1，2），
由于指数函数f（x）=2^x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．
然后①将函数f（x）=2^x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位即得到函数f（x）=2^x-1和y=x的图象，
取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．
即当x≤0时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=0．
②取①中函数f（x）=2^x-1和y=x图象-1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，
即得f（x）=2^x-1和y=x在0＜x≤1上的图象，显然，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．
即当0＜x≤1时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=1．
③取②中函数f（x）=2^x-1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，
即得到f（x）=2^x-2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，显然，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．
即当1＜x≤2时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=2．
④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．
即方程f（x）-x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．
综上所述方程f（x）-x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为
0，1，2，3，4，…
其通项公式为a_n=n-1；
故选C．

点评：本题考查数列的递推公式的合理运用，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．