题目内容
（1）已知数列{an}的前几项和为sn=
(an-1)(n∈N*)
①求数列的通项公式；
②求数列{an}的前n项和．
（2）已知
=
，
=
，且|
|=|
|=4，∠AOB=60°，
①求|
+
|，|
-
|；
②求（
+
）与
的夹角．
| 3 |
| 2 |
①求数列的通项公式；
②求数列{an}的前n项和．
（2）已知
| OA |
| a |
| OB |
| b |
| a |
| b |
①求|
| a |
| b |
| a |
| b |
②求（
| a |
| b |
| a |
分析：（1）①依题意，可证数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，从而可求数列的通项公式；
②由①知an=3n，利用等比数列的求和公式即可求得数列{an}的前n项和．
（2）①利用向量的积与模的运算，可先求得|
+
|2与|
-
|2，再分别开方即得|
+
|，|
-
|；
②设（
+
）与
的夹角为θ，利用向量的数量积的定义与向量的分配律即可求得cosθ的值，从而可得θ，即（
+
）与
的夹角．
②由①知an=3n，利用等比数列的求和公式即可求得数列{an}的前n项和．
（2）①利用向量的积与模的运算，可先求得|
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
②设（
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| a |
解答：解：（1）①∵sn=
（an-1）（n∈N*），①′
∴当n=1时，a1=
（a1-1），
∴a1=3；
又sn+1=
（an+1-1），②′
∴②′-①′得：an+1=
（an+1-an），
∴
=3，
∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，
∴an=3n；
②设数列{an}的前n项和为Tn，
则Tn=a1+a2+…+an=3+32+…+3n=
=
；
（2）①∵
=
，
=
，且|
|=|
|=4，∠AOB=60°，
∴
•
=|
|•|
|cos∠AOB=4×4×
=8，
∴|
+
|2=
2+2
•
+
2=16+2×8+16=48，
|
-
|2=
2-2
•
+
2=16-2×8+16=16，
∴|
+
|=4
，|
-
|=4；
②设（
+
）与
的夹角为θ，
则（
+
）•
=|
|2+
•
=16+8=24，
又（
+
）•
=|
+
|•|
|cosθ=4
×4cosθ=16
cosθ，
∴16
cosθ=24，
∴cosθ=
=
，又θ∈[0，
]，
∴θ=
，即（
+
）与
的夹角为
．
| 3 |
| 2 |
∴当n=1时，a1=
| 3 |
| 2 |
∴a1=3；
又sn+1=
| 3 |
| 2 |
∴②′-①′得：an+1=
| 3 |
| 2 |
∴
| an+1 |
| an |
∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，
∴an=3n；
②设数列{an}的前n项和为Tn，
则Tn=a1+a2+…+an=3+32+…+3n=
| 3(1-3n) |
| 1-3 |
| 3n+1-3 |
| 2 |
（2）①∵
| OA |
| a |
| OB |
| b |
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
∴|
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
|
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
∴|
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
②设（
| a |
| b |
| a |
则（
| a |
| b |
| a |
| a |
| a |
| b |
又（
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| a |
| 3 |
| 3 |
∴16
| 3 |
∴cosθ=
| 3 | ||
2
|
| ||
| 2 |
| π |
| 2 |
∴θ=
| π |
| 6 |
| a |
| b |
| a |
| π |
| 6 |
点评：本题考查数列的求和，考查向量的数量积与模的运算，突出考查等比数列关系的确定，考查向量的数量积、向量的夹角、向量模的综合应用，属于中档题．
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（ n=1，2，3…）使用归纳法归纳出这个数列的通项公式．（不需证明）
（2）用分析法证明：若a＞0，则
-
≥a+
-2．
| an |
| 1+an |
（2）用分析法证明：若a＞0，则
a2+
|
| 2 |
| 1 |
| a |