Question

已知双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线y²=9x上，则实数m的值为

1. A.
   4
2. B.
   -4
3. C.
   0或4
4. D.
   0或-4

Answer 1

D
分析：根据双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，求出MN中点P（-，m），利用MN的中点在抛物线y²=9x上，即可求得实数m的值．
解答：∵MN关于y=x+m对称∴MN垂直直线y=x+m，MN的斜率-1，MN中点P（x₀，x₀+m）在y=x+m上，且在MN上
设直线MN：y=-x+b，∵P在MN上，∴x₀+m=-x₀+b，∴b=2x₀+m
由消元可得：2x²+2bx-b²-3=0
∴M_x+N_x=-b，∴x₀=-，∴b=
∴MN中点P（-，m）
∵MN的中点在抛物线y²=9x上，
∴
∴m=0-或4
故选D．
点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查对称性，考查抛物线的标准方程，解题的关键是确定MN中点P的坐标．