Question

若函数f（x）在定义域内存在区间[a，b]，满足f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则称这样的函数f（x）为“优美函数”．
（Ⅰ）判断函数f(x)=

x

是否为“优美函数”？若是，求出a，b；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若函数f(x)=

x

+t为“优美函数”，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知条件中“优美函数”的定义，说明函数f(x)=

x

在区间[a，b]的值域是[a，b]，又由函数的单调性，得到

a =a b =b

，解出a与b即可；
（2）由题意知，函数f(x)=

x

+t为“优美函数”，等价于方程

x

+t=x有两实根，进而得到参数t的范围．

解答：解：（Ⅰ）由于函数f(x)=

x

是增函数，则得

a =a b =b

，
因为a＜b，所以

a=0 b=1

；
（Ⅱ）由于函数f(x)=

x

+t为“优美函数”，则得方程

x

+t=x有两实根，
设

x

=m (m≥0)，所以关于m的方程m+t=m²即t=m²-m在[0，+∞）有两实根，
即函数y=t与函数y=(m-

1

2

)2-

1

4

的图象在[0，+∞）上有两个不同交点，
∴-

1

4

＜t≤0．

点评：本题考查的知识点是函数单调性和函数的值域，属于基础题．根据新定义构造出满足条件的方程（组）或不等式（组）将新定义转化为熟悉的数学模型是解答本题的关键．