题目内容
函数f(x)=
+
的值域是（ ）
| x-4 |
| 15-3x |
分析：首先求出函数的定义域为{x|4≤x≤5}，想求函数的值域，可想着去掉根式，因此借助于三角函数，令x=4+sin2θ
（0≤θ≤
），把x代入函数解析式即可转化为关于角θ的三角函数，把三角函数化积后可求值域，从而求出原函数的值域．
（0≤θ≤
| π |
| 2 |
解答：解：由
得：4≤x≤5，
所以，函数的定义域为{x|4≤x≤5}．
设x=4+sin2θ （0≤θ≤
），
则原函数化为y=
+
=|sinθ|+
|cosθ|
∵0≤θ≤
，
∴y=sinθ+
cosθ=2(
sinθ+
cosθ)=2sin(θ+
)．
∵0≤θ≤
，∴
≤θ+
≤
π，∴1≤2sin(θ+
)≤2．
所以，y=2sin(θ+
)的值域是[1，2]．
则函数f(x)=
+
的值域是[1，2]．
故选A．
|
所以，函数的定义域为{x|4≤x≤5}．
设x=4+sin2θ （0≤θ≤
| π |
| 2 |
则原函数化为y=
| 4+sin2θ-4 |
| 15-3(4+sin2θ) |
=|sinθ|+
| 3 |
∵0≤θ≤
| π |
| 2 |
∴y=sinθ+
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
∵0≤θ≤
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 5 |
| 6 |
| π |
| 3 |
所以，y=2sin(θ+
| π |
| 3 |
则函数f(x)=
| x-4 |
| 15-3x |
故选A．
点评：本题考查了函数的值域及其求法，训练了利用换元法求解函数的值域，考查了数学转化思想，解答此题的关键借助于三角代换化无理函数为有理函数，此题是中档题．
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探究函数f(x)=x+
，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（1）函数f(x)=x+
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（2）函数f(x)=x+
(x＞0)，当x= 时，y最小= ；
（3）函数f(x)=x+
(x＜0)时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）
| 4 |
| x |
| x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
| y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.002 | 4.04 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
（1）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
| 4 |
| x |
（2）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
（3）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |