Question

20．若f（x），g（x）定义域为R，f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$，求f（x），g（x）．

Answer 1

分析 题目给出了相同定义域上的两个函数，且给出了两函数解析式的和，可借助于f（x）和g（x）的奇偶性，取x=-x，得到关于f（x）和g（x）的另一方程，联立方程组求解即可

解答 解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（-x）=-f（x），且g（-x）=g（x）
∵f（x）+g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$，①
∴f（-x）+g（-x）=$\frac{1}{{x}^{2}+x+1}$，
即g（x）-f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}+x+1}$，②
①②解得：g（x）=$\frac{2{x}^{2}+2}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$，
f（x）=$\frac{2x}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$

点评 本题考查了函数的奇偶性，考查了方程思想，解答此题的关键是借助于函数的奇偶性得到关于f（x）和g（x）的另外一个方程，是求函数解析式的一种方法