Question

已知函数f（x）=kx+m，数列{a_n}，{b_n}满足：当x∈[a₁，b₁]时，f（x）的值域是[a₂，b₂]；当x∈[a₂，b₂]时，f（x）的值域是[a₃，b₃]，…，当x∈[a_n-1，b_n-1]（n∈N，且n≥2）时，f（x）的值域是{a_n，b_n}，其中k，m为常数，a₁=0，b₁=1．
（1）若k=1，m=2，求a₂，b₂以及数列{a_n}与{b_n}的通项；
（2）若k=2，且数列{b_n}是等比数列，求m的值；
（3）（附加题：5分，记入总分，但总分不超过150分）若k＞0，设{a_n}与{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n，求（T₁+T₂+••+T_n）-（S₁+S₂+••+S_n）．

Answer 1

分析：（1）因为k=1，m=2，所以f（x）=x+2在R上是增函数，从而可知数列{a_n}与{b_n}是公差为2的等差数列，故可求a₂，b₂以及数列{a_n}与{b_n}的通项；
（2）因为k=2，所以f（x）=2x+m在R上是增函数，所以b_n+1=2b_n+m，n∈N₊，根据{b_n}是等比数列，所以b_n≠0
于是

bn+1

bn

=2+

m

bn

（是常数），从而m=0或{b_n}是常数列，故可求m的值；
（3）因为k＞0，所以f（x）=kx+m在R上是增函数，可得{b_n-a_n}是以b₁-a₁为首项，k为公比的等比数列
所以bn-an=kn-1(b1-a1)=kn-1，故T_n-S_n=（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b_n-a_n）=

n，k=1 1-kn 1-k ，k＞0，k≠1

，从而可求（T₁+T₂+••+T_n）-（S₁+S₂+••+S_n）的值．

解答：解：（1）因为k=1，m=2，所以f（x）=x+2在R上是增函数，
所以a₂=a₁+2=2，b₂=b₁+2=3，
a_n=a_n-1+2，b_n=b_n-1+2（n∈N₊，且n≥2）
所以数列{a_n}与{b_n}是公差为2的等差数列．
又a₁=0，b₁=1，所以a_n=2（n-1），b_n=2n-1．
（2）因为k=2，所以f（x）=2x+m在R上是增函数，
所以b_n+1=2b_n+m，n∈N₊，
又因为{b_n}是等比数列，所以b_n≠0
于是

bn+1

bn

=2+

m

bn

（是常数）
所以m=0或{b_n}是常数列，
又b₁=1，所以若{b_n}是常数列，则必有b₂=2b₁+m=2+m=1，即m=-1
综上，m=0或m=-1．
（附加题）（3）因为k＞0，所以f（x）=kx+m在R上是增函数，
所以a_n=ka_n-1+m，b_n=kb_n-1+m（n∈N₊，且n≥2）
两式相减得b_n-a_n=k（b_n-1-a_n-1）
即{b_n-a_n}是以b₁-a₁为首项，k为公比的等比数列
所以bn-an=kn-1(b1-a1)=kn-1
∴T_n-S_n=（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b_n-a_n）=

n，k=1 1-kn 1-k ，k＞0，k≠1

∴（T₁+T₂+••+T_n）-（S₁+S₂+••+S_n）=（T₁-S₁）+（T₂-S₂）+…+（T_n-S_n）
=

n(n+1) 2 ，k=1 kn+1-(n+1)k+n (1-k)2 ，k＞0，k≠1

．

点评：本题以函数为载体，考查等差数列与等比数列的通项，考查数列的求和，将数列转化为等差数列与等比数列是解题的关键．