Question

在半径为R的圆的内接四边形ABCD中，AB=

3

-1，BC=

3

+1，cos∠ABC=-

1

4

，且△ACD的面积等于△ABC面积的3倍，求：
（1）圆的半径R；
（2）

DA

•

DC

的值；
（3）四边形ABCD的周长．

Answer 1

分析：（1）求半径有如下方法：构造含半径R的三角形，解三角形求出半径R值；或是根据正弦定理，

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，根据本题的已知条件，可知用正弦定理相对可行，故可由余弦定理求出AC，再由正弦定理求R．
（2）要求

DA

•

DC

，根据向量数量积的计算公式，我们要求出两个向量模的积及夹角的余弦值，由∠B与∠D互补，夹角的余弦值易得，然后根据△ACD的面积等于△ABC面积的3倍，也可以得到两个向量模的积，代入可得答案．
（3）由AB=

3

-1，BC=

3

+1，我们要求四边形的周长，关键是要求出AD、CD边的长，结合（2）结论和余弦定理，易得答案．

解答：解：（1）在三角形ABC中，
有余弦定理：AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC，
∵AB=

3

-1，BC=

3

+1，cos∠ABC=-

1

4

，
所以AC=3，
由正弦定理可知：

AC

sin∠ABC

=2R=

3

15 4

，
∴R=

2 15

5

；
（2）

DA

•

DC

=|DA|•|DC|cos∠ADC=

1

4

|DA|•|DC|，
因为△ACD的面积等于△ABC面积的3倍，
即

1

2

•DA•DC•sin∠ADC=3•

1

2

•BA•BC•sin∠ABC
∴DA•DC=3BA•BC，
∵BA•BC=2，
∴

DA

•

DC

=

3

2

；
（3）三角形ADC中，有AC²=AD²+CD²-2AD•CDcos∠DAC，
又∵DA•DC=6，所以有AD²+AC²=12，
从而有DA+DC=2

6

，
所以四边形ABCD的周长为2

6

+2

3

．

点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及平面向量的数量积运算，求圆的半径有如下方法：①构造含半径R的三角形，解三角形求出半径R值；②如果圆为△ABC的外接圆，则根据正弦定理，

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R；③如果圆为△ABC的内切圆，则根据面积公式S=

1

2

•l•r（其中l表示三角形的周长）．熟练掌握定理及公式是解本题的关键．